Kamis, 12 Januari 2012

Transformasi Geometri

TRANSFORMASI GEOMETRI



Hmmm … Apa sih Transformasi Geometri itu ??????

Sebelum saya paparkan apa definisi dari Tranformasi Geometri, ada baiknya kita pahami lebih dulu definisi dari masing-masing suku kata ini.


Apa sih arti kata Transformasi itu sendiri ??????

Secara sederhana, Transformasi didefinisikan sebagai suatu perpindahan atau perubahan. Didalam ilmu matematika, Transformasi digunakan untuk untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada suatu bidang.


Lalu Geometri itu apa ???????

Sedangkan definisi Geometri itu sendiri menurut World Book Encyclopedia merupakan suatu ilmu matematika yang sangat terkaitndengan bentuk, ukuran, dan pemposisian. Definisi ini sangat luas, sehingga dengan hanya berpedoman pada definisi ini, maka tiap bentuk dapat dikategorikan sebagai suatu geometri dan juga terdiri dari elemen geometri.

Jadi, secara keseluruhan dapat kita artikan bahawa Transformasi Geometri adalah bagian dari geometri yang membahas tentang perubahan (letak, bentuk, penyajian) yang didasarkan dengan gambar dan matriks.


Transformasi pada bidang terdiri dari 4 macam :

1. Translasi (Pergeseran)

2. Refleksi (Pencerminan)

3. Rotasi (Perputaran)

4. Dilatasi (Perkalian Bangun)


1. Translasi (Pergeseran)

Translasi adalah suatu pergerakan atau perpindahan semua titik dari objek pada suatu jalur lurus sehingga menempati posisi baru.



Jalur yang direpresentasikan oleh vektor disebut Translasi atau Vektor Geser.






Representasikan translasi dalam Matriks 3x3 kita dapat tulis :






2. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi adalah suatu transformasi yang memasangkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang hendak dipindahkan.


Add Image


Add Video


Tiga sifat utama refleksi adalah:

  1. Jarak titik ke cermin sama dengan jarak titik bayangannya ke cermin.
  2. Suatu bangun yang direfleksikan akan kongruen dengan bayangannya.
  3. Sudut-sudut yang dihasilkan oleh cermin dengan garis penghubung setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku.


1. Pencerminan terhadap sumbu X

(dilambangkan dengan Mx )

Mx : P (x , y) → P’ (x’ , y’ ) = P’ (x , -y)







2. Pencerminan terhadap sumbu Y

(dilambangkan dengan My)

My : P (x , y) → P’ (x’ , y’ ) = P’ (-x , y)







3. Pencerminan terhadap titik asal O (0,0)

(dilambangkan dengan Mo)

Mo : P (x , y) → P’ (x’ , y’) = P’ (-x , -y)







4. Pencerminan terhadap garis y = x

(dilambangkan dengan M y=x)

M y=x : P (x , y) → P’ (x’ , y’ ) = P’ (y , x)







5. Pencerminan terhadap garis y = -x

(dilambangkan dengan M y=x)

M y=x : P (x , y) → P’ (x’ , y’) = P’ (-y , -x)







6. Pencerminan terhadap garis x = h

(dilambangkan dengan M x=h)

M x=h : P (x , y) → P’ (x’ , y’) = P’ (2h – x , y)


7. Pencerminan terhadap garis y = k

(dilambangkan dengan M y=k)

M y=k : P(x , y) → P’ (x’ , y’) = P’ ( x , 2k - y)


8. Pencerminan terhadap titik (a ,b)

(dilambangkan dengan M (a ,b))

M (a,b) : P (x , y) → P’ (x’ , y’) = P’ ( 2a-x, 2b – y)


3. Rotasi (Perputaran)

Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan memutar titik-titik tersebut sejauh θ terhadap suatu titik pusat rotasi dan ditentukan oleh arah rotasi.



Titik pusat rotasi adalah titik tetap atau titik pusat yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan arah dan besar sudut rotasi.

Arah rotasi disepakati dengan aturan sebagai berikut :

· Jika perputaran berlawanan dengan arah putar jarum jam, maka rotasi bernilai positif (+).

· Jika perputaran searah dengan jarum jam, maka rotasi bernilai negatif (-).


Besarnya sudut putar rotasi menentukan jauhnya rotasi. Jauh rotasi dinyatakan dalam bidang pecahan terhadap suatu kali putaran penuh ( 360o ) atau besar sudut dalam ukuran derajat.

Suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi θ dinotasikan dengan R (P, θ ).

1. Rotasi terhadap titik pusat O(0 , 0)

(dilambangkan dengan R(O , θ )

Jika titik P(x , y) diputar sebesar θ belawanan arah jam terhadap titik pusat O( 0,0 ), maka diperoleh bayangan P ' (x ' , y ' ).

R(O, θ ): P(x,y) → P ' (x ' , y ' ) = P ' (x cosθ - y sinθ , x sinθ + y cos θ )







Untuk θ = 90 o, -90 o, 180 o, 270 o, -270 o , dengan memasukkan nilai θ tersebut didapat table sebagai berikut :



2. Rotasi terhadap titik pusat P (a, b)

(dilambangkan dengan R (O, θ) )

Jika suatu titik P (x,y) diputar sejauh θ berlawanan dengan arah jam terhadap titik pusat A(a, b) maka bayangannya adalah

P’ (x’ , y’) dengan :

x’ - a = (x – a) cosθ - (y - b) sinθ

y’ - b = (x – a) sin θ+ (y - b) cos θ







4. Dilatasi (Perkalian Bangun)

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran atau skala suatu bangun geometri (pembesaran atau pengecilan), tetapi tidak mengubah bentuk bangun tersebut.



Dilatasi pada bidang datar ditentukan oleh hal-hal berikut.

1. Pusat dilatasi

2. Faktor dilatasi


Pusat dilatasi terdiri atas dua, yaitu di titik O(0,0) dan di titik A(x,y). Sementara itu, faktor dilatasi dapat bersifat positif (perbesarannya searah) dan dapat pula bersibat negatif (perbesarannya berlawan arah). Faktor dilatasi disebut juga dengan faktor skala.


1. Dilatasi terhadap titik pusat O(0,0)

Pemetaannya:

[O , k] : P(x , y) → P’ (kx , ky)







2.Dilatasi terhadap titik pusat A(a , b)

Titik P(x , y) dilatasi terhadap titik pusat A (a,b) dengan faktor skala k, didapat bayangan P’ ( x’, y’) dengan:

x’ - a = k (x - a) dan y’ - b = k (y - b)










Source :

www.google.co.id



Tidak ada komentar:

Poskan Komentar